Tuesday, August 16, 2005

Fund@mentos Teóricos

@lgebr@

División de polinomios

- Es la operación cuyo objetivo es hallar en dos polinomios el cociene y el resto.

1.- Caso general:

- Primero completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable.

- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente.

- Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo el dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante.

- Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor inicial.


Ejemplo:

2.- Aplicando el método de los coeficientes separados: Recomendable para polinomios de una sola variable:

- Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividiendo y divisor
- De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente. - Para determinar el grado del coeficiente y resto se aplica las propiedades:

qº = Dº-dº

rº(máx) = dº-1º

T.I(D) = T.I(d)*T.I(q)+T.I(r)

Donde:

q = cociente
r = residuo
D = Dividendo
d = divisor

Ejemplo:

* Vemos que el polinomio es ordenado:

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7

3 – 1 + 1

- 6 + 2 – 2

2 – 6 - 7 + 8

- 18 – 15 + 25

18 – 6 + 6

-21 + 31 – 12

+21 – 7 + 7

24 – 5 + 7

-24 + 8 – 8

+ 3 - 1

* El cociente (q) es de grado: qº=Dº-dº=5-3=2
* El cociente es q=2x3-6x2-7x+8
* El de grado: rº=dº-1=2-1=1
* El resto (r) es de grado r=3x-1

* JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO. "Productos notables". Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml

3.- Aplicando el método de Horner:

Procedimiento:

1.- Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo.

2.- Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.

3.- El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.

4.- Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.

5.- Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

6.- Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

7.- Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.

8.- Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Ejemplo:

Dividir 8x4 -10x3 +15x2 - 12x + 6 entre 4x2 - 3x +2

4.- Método de Rufini: La regla de Rufini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un número), disponiéndose en la forma que se muestra en la escena siguiente que presenta la división:

Ejemplo:

(x3 + x2 - x - 1) : (x - 2)

http://suanzes.iespana.es/suanzes/ruffini.htm

5.- Teorema del resto:

- Es el método por el cual se obtiene el residuo de una división algebraica sin efectuar división.

1° El divisor se iguala a cero 2° Conseguiremos el resto Remplazando el valor anterior en el dividendo D

Ejemplos:

* Calcular el resto de los divisores:

1) 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3 ÷ (n – 1)

* Solución:

1° n – 1 = 0
2° n = 1 se reemplaza en el dividendo :

n = 1 R = 2n4 – 5n3 + 7n2 – 9n + 3
R = 2( 1)4 – 5(1)3 + 7(1)2 – 9(1) + 3
R = 2 – 5 + 7 – 9 + 3
R = - 2 Residuo

6.- Cocientes notables: Son aquellos cocientes que se escriben por simple inspección, sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división.

1º Caso: (an +bn) ÷ (a + b)

Cociente de la suma de dos potencias entre la suma de sus raíces

- En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.

(a3 +b3) ÷ (a + b) = a2 – ab + b2

- La suma de los cubos de dos cantidades, dividida por la suma de las dos cantidades nos da resultado a: el cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de las dos cantidades más el cuadrado de la segunda cantidad. Veamos el siguiente ejemplo:

2º caso: (an -bn) ÷ (a - b)

Cociente de la diferencia de dos potencias entre la diferencia de sus raices

- En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importa si el exponente es número par o impar.

- La mecánica para este caso es la misma que en el anterior, con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando. Veamos el siguiente ejemplo:

3º caso: De la forma (an - bn) ÷ (a + b)

Cociente de la diferencia de dos potencias entre la suma de sus raices

- En este caso se obtiene respuesta exacta si el exponente es par:

(a2 - b2) ÷ (a + b) = a - b

- La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de dos números va hacer igual a la diferenta de estas cantidades. Veamos el siguiente ejemplo:

a) Raíz cuadrada de y2: y b) raíz cuadrada de 49: 7

* Propiedades de los cocientes notables:

7.- Factorización: Es la descomposición de una expresión algebraica en factores; que al multiplicarse estos factores da la expresión original.

* Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común. Ejemplo:

8x4 - 4x2y + 16x5y2

Término que se repite en los tres términos “X”, el que tiene menor exponente “X2”; entonces si la parte numérica es 4 y la parte literal es x2. Desde luego el factor común sería: 4x2

- El resultado final sería; el producto del factor común por los otros términos cuyo resultado de la expresión original: 4x2(2x2 -y +4x3y2)

* Factor común polinomio: En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el resultado será otro polinomio. Ejemplo:

5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)

- Factor común "(x-y)", el otro factor sera lo que queda del polinomio. (5x2+3x+7)

Entoces obtendremos como resultado: (x -y) (5x2 + 3x +7)

* Por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo:

5x4y + 3x2y -9xy -15xy2 : Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:

1º 5x4y-15xy2= 5xy (x3 -3y)

2º 3x2y -9xy = 3y (x3 -3y)

Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:

5xy (x3 -3y) +3y (x3 -3y) : Después se aplica el factor común polinomio.

- Entonces el resultado sera el siguiente: (x3 -3y)(5xy +3y)

* Diferencia de cuadrados: Este producto notable se obtiene de multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos; es decir quedaría así:

a2- b2=(a+b) (a-b)

* Suma de cubos: Este producto notable al factorizarlo se obtiene del producto del dos factores: el primero formado por la suma de las bases y el segundo factor formado por el cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases más el cuadrado de la segunda base. Entonces quedaría:

a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)

* Diferencia de cubos: Es equivalente al producto de dos factores: donde el primer factor lo forma la diferencia de las bases; y el segundo factor por la suma del cuadrado de la primera base por el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.

a3-b3 = (a-b) (a2 +ab +b2)

* Trinomio de segundo grado:

a) Trinomio cuadrado perfecto: Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer termino deben tener cuadrados perfectos y el segundo no debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos. Ejemplo:

9x2+24xy+64y2= (3x+8x)(3x+8x)=(3x+8x)2

b) Trinomio de la forma x2+bx+c (Método del aspa): Se emplea solo para trinomios de la forma x2+bx+c; en la que el trinomio se descompone:

1º término: en dos factores que den resultado al primer término.
3º término: en dos factores que den resultado al tercer término.

- Puesto que el usar el método del aspa; de la siguiente manera (ejemplo): te resulte el segundo término:

8x2 -2x -3: Entonces los descomponemos:

- Finalmente formamos la factorización: (4x-3)(2x+1)

c) Trinomio de la forma ax2+bx+c;(a¹1) : Se diferencia del trinomio cuadrado perfecto porque el primer término puede tener por coeficiente a un número diferente de 1. Para resolverlo:

- Simplemente todo el trinomio por el coeficiente del primer término, convirtiéndose en un trinomio de la forma: x2+bx+c y se divide por el mismo coeficiente; factorizamos el término del numerador y se simplifica del denominador.

* Polinomio primo o irreductible: Se le llama a al polinomio que no puede descomponerse.

* Trinomio por suma y resta (quita y pon): En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio). En otras palabras este método se basa en lo siguiente: Si una expresión; se le suma y se le resta una misma expresión, la expresión inicial no varía. Ejemplo:

\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}

- Resolviendo esta expresión; nos quedaría:

\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}\end{displaymath}

\begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}\end{displaymath}

\begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} \end{displaymath}

- Aplicando la diferencia de cuadrados; resulta:

\begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} \end{displaymath}

* Empleando aspa doble: Este método sirve para factorizar expresiones de la siguiente forma:

* Ejemplo: 8x2 + 4xy +18x + 6y +9 - En este caso contemplamos el polinomio con 0y2 para aplicar para el aspa doble.

- Respuesta: (4x + 2y + 3)(2x + 3)

* Empleando el método de los divisores binomios: En este método, para factorizar un polinomio que se supone resulta de multiplicar entre sí varios binomios de la forma x ±a, x ± b , x ±c , etc., se busca sus divisores, aplicando la propiedad del residuo de la división, y se indica el producto de todos los factores así hallados.

- Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros, estarán dados por lños divisores del término independiente con su doble signo.

* Procedimiento para factorizar:

1º Determinar los ceros del polinomio.
2º Luego; debemos deducir el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica: Si el polinomio P(X) se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces dicho tendrá un factor (x-a).
3º Finalmente el otro factor lo determinamos usando el método de Rufino, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado; para poder aplicar el aspa doble que es sencillo de factorizar).

- Ejemplos:

* Maximo común divisor (M.C.D): En varias expresiones algebraicas; es la siguiente:

- Primero se factorizan estas expresiones y el M.C.D estará formado por los factores comunes, elevados a su menor exponente. Ejemplo:

* Halllar el M.C.D de 24a2b ; 18a3bx y 30a4bx2

Primero descomponemos los coeficientes:

24 => 23·3 18 => 2·32 30=> 2·3·5

Luego:

24a2b => 2·3·a2b

18a3bx => 2·32·a3bx

30a4bx2 => 3·3·5·a4bx2

- Los factores comunes con su menos exponente son: 2·3· a2·b = 6a2b; siendo este el M.C.D

* Mínimo común múltiplo (M.C.M): En varios números expresiones algebraicas es la siguiente:

- Al igual que el anterior; se factorizan éstas expresiones y el M.C.M se forma con los factores comunes y no comunes a su mayor exponente. Ejemplo:

* Hallar el M.C.M de 72x3y4z4 ; 96x2y2x3 y 120x4y5z7

Primero descomponemos los coeficientes:

Citas biliográficas

* Brikers.com “Cocientes notables”. Disponible en:
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm

* Factorización de polinomios. Disponible en:
http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm
* Brinkers.com. “Factorización”. Disponible en: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra4.htm

* Memo.com. “Productos y cocientes notables: según álgebra Baldor”. Disponible en:
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html (es muy interesante esta página)

* Lycos.es. Aurelio Baldor. “Alkgebra de Baldor”. Disponible en:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm

* ALBEGRA.ITGO.com. “Cocientes notables”. Disponible en:
http://algebra.itgo.com/cocientes_notables.htm (recomendamos que la vea)

* JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO. “Productos notables”. Disponible en:
http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN

* Alejandro Carreiras. Matemática “Funciones”. Disponible en:
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#trigo

* Descartes. Eduardo Barbero Corral. “Máximo común divisor”· Disponible en:
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/mcd2n.htm

* Descartes. Eduardo Barbero Corral. “Mínimo común múltiplo”· Disponible en:
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/mcm2n.htm

* Wikipedia.org. “Factorización”. Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

* http://www.galeon.com/student_star/factor02.html

8.- Características de un buen juego:

Un buen juego en matemática:

- No depende de la fuerza o maña físicas.
- Tiene bien definidas sus reglas
- Posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático.
- Tienen sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento mutuo a través de las definiciones de la teoría.
- Las reglas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de razonamiento admitidos como válidos en el campo. - Presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales.

* Si un buen juego presenta estas características; uno logra aprender las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema.

- Santa Cruz de Tenerife. "Juegos matemáticos en la enseñanza". Disponible en: http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/juemat/juemat.htm

- El juego. Disponible en: http://sepanmas.sepbcs.gob.mx/Descargas/EL%20JUEGO.doc

9.- Programas para elaborar juegos:

10.- Materiales a utilizar:

Hund2.gif (14760 bytes)

Esperamos Hay@ Sido de su Tot@l @gr@do